伴随着每一次简单的思维活动（Denkact）我们的灵魂中就会出现一种持续的、实质性的东西（Bleibendes， Substantielles）。这种实质（Substantielle）对我们来说甚至显得好像是一个单体（Einheit），但是（就其作为展布在空间和时间上的表达来说）似乎包含着一个内在的多样体（eine innere Mannigfaltigkeit）;因此我称它为“灵质（Geistesmasse）---那么所有的思维（Denken）就是生成新的灵质。
在灵魂（Seele）中出现的灵质对我们来说就是观念（Vorstellung）;它的不同内部状态就决定了它的不同的性质（Qualitat）。
这样生成的灵质在某些特定的程度上会部分在相互之间，或部分与老的灵质，溶化、结合或自我复杂化。这种结合的方式和强度依据条件而定，这些条件 Herbart只认识到了一部分，我将在下面将其补全。它们主要依赖于灵质内部的相互关系。
灵魂是一个紧凑的、以一种紧密而又多样的方式结合在一起的灵质，它通过灵质的进入而不断地增长，它的长进（Fortbildung）即在于此。
灵质一旦形成就不会消失，它的结合不可解除;仅仅是这种结合的相对强度随新加入的灵质的不同而不同。
灵质的持续存在（Fortbestehen）用不着物质的载体（materielle Trager），而且也不会对现象世界有持续的作用。因此它与任何一部分物质都不会有瓜葛，因此也不会在空间中占据一个位置。
相反，灵质的各种加入（Eintreten），出现（Entstehen），一切新的灵质的成形（Bildung）以及它与物质载体的结合都是被允许的。因此一切思想都是产生于某处的。
（要努力的不是保住经验，而是思考，而所需要的力量，若能估量的话是与精神活动成正比的。）
每一个灵质的出现都会激励与之相类似的灵质，而且它们的内部状态（质）差别越小，这种激励就越强。
但是这种激励不仅仅限于与之相类似的灵质，而且间接延伸到与之有联系的（即在先前的思维过程中和它结合在一起的）灵质。因此如果在相类似的灵质中有一部分与之有联系，那么它不仅会直接受到激励，还会间接受到激励，因而比其余的要相对强一些。
两个同时形成的灵质间的相互作用将通过在形成它们的两地之间的一个物质过程来实现。同样由于物质的原因在所有自我生成的灵质与直接在其前生成的灵质之间会引起直接的相互作用;但是在与所有的以前的与之有关联的灵质之间会引起间接的作用能力，而且它们离开它越远，关联程度越小，这种作用就越弱。
这种以前的灵质的作用能力最普通和最简单的对外表现就是复制（Repro-duction），即起作用的灵质会力图产生一个与之相似的灵质。
较新的灵质的形成有赖于一部分是先前的灵质，一部分是物质原因的共同作用，而且根据它所企图产生的灵质内部的相异或相同，对此共同的作用或引起阻碍效果，或引起促进效果。
自我形成的灵质的形式（Form）（或与其形成相伴随的观念的性质（Qualitat））依赖于它形成于其中的物质的相对运动形式（relative Bewegungsform der Materie），所以相同的物质运动形式决定了在其中所形成的灵质的形式的相同，反之，灵质的形式相同以它形成于其中的物质的运动形式相同为前提。
所有（在我们的脑髓系统（Cerebrospinalsystem）中）同时自我形成的灵质紧接着与在形成它们的地点之间的物理的（电化学的）过程相结合。
每一个灵质都力图激起一个形式与之相同的灵质。因此它也力图生成那种物质运动的形式，它就是靠着这种运动形式来形成的。
假设有一灵魂作为持续灵质的统一的载体，这种假设由灵魂生命的每一次活动所产生（观念），是基于：
1、所有观念之间的紧密联系和相互渗透但是为了解释某一新的概念与另一个概念之间的结合、只有一个统一的载体的假设是不够的:看来它以这样的强度立即进入这种结合的原因还要到那个靠它来结合的概念中去找。但是除了这个原因之外，假设有一个所有概念的统一载体就是多余的了，…
现在我们转过来讨论精神之旅的规律，对我们内在感悟的阐述，导致对实实在在所觉察到的适当性（zweckmassigkeit）的阐述，即，导致对存在及其历史发展的阐述、就是导向这种规律的。
为了阐释我们的灵魂生命（Seelenleben），我们一定要假设，在神经过程中所产生的灵质作为我们灵魂的一部分持续存在着，而且它的内部联系从始至终保持不变，只有当它遇到与别的灵质结合时才会承受改变。
这一原则性的阐释的直接后果就是，有机生灵（organische Weser）的灵魂， 即在它还活着的时候所形成的紧密的灵质，在死后仍然继续存在。（它的孤立地永存不能满足这一点）但是为了阐释有机本性（organische Natur）的有规律的发展显然先前积累到的经验能作为后来创造的基础就是靠的这一点，我们一定要假设这些灵质进入更大的紧密的灵质，大地灵魂（die erdseele），并且在那里按照相同的规律服务于更高层的灵魂生命（（Seelenleben），就像那在我们的神经过程中所产生的灵质服务于我们自身的灵魂生命一样。
因此就好像，例如，在观看到一块红色的曲面，它在于单个原始纤维的集合中所生成的灵质结合为紧密的灵质之际，同时在我们的思想中出现，所以那些在各种不同的植物种属中所生成的灵质，它们来自大地气候相差不大的地方出现在大地灵魂中，也会结合成一个总的印象（Gesammteindruck）。正如对同一对象不同感受在我们的灵魂中结合成同一个图像，所以大地表面一部分上的所有植物就会给大地灵魂画就一幅最精致的气候和化学状态的图画。大地先前的生命是如何有计划地发展为后来的创新就由此得到了说明。
但是依照我们的原则性的说明，当下现有的灵质也可以在没有载体的情况下持续存在。但是它们的所有结合只有借助于在共同的神经过程中新生成的灵质才可能发生。
由于我们将在稍后会讲到的理由，精神活动的根基只有到有质体（pable Materie）中去找。
既然事实上，坚硬的地壳以及所有的有质体没有一个共同的精神过程，这些有质体的运动我们只可以用其他的原因来解释这样一来，只剩下了这样一个假设在硬化的地壳内部的有质体才是大地灵魂的载体。
那么这个假设就此已足够吗?哪些是使生命过程可能的外部条件?那些在我们大家可以观察到的生命过程上所获得的普遍经验必定是构成这个的基础;但是只有在它们能够做出解释的范围内，我们才可以由此得出那些也能应用于其他现象范围内的结论来。
1、生命过程发展到越高级和越完善，就越许可其载体对外部动因（Bewegungsursach）的防护，而这种外部动因力图改变各部分的相对位置。
3、有机体的物质没有可以识别的结晶体结构，一部分是固体（不是很脆的）一部分是像凝胶似的，一部分是液体或弹性流体，但大多是多孔的，即弹性流体可以明显地穿过。
4、在所有的化学元素中只有四种所谓的生命过程的普遍有机载体，由它们结合而成的确定的化合物构成了所谓有机体的组成部分（蛋白质、纤维素，等等）。
5、有机物只有在一定的高温之下和一定的低温之上才能作为生命过程的载体。
补白1。各部分相对位置的变动靠着机械的力、温度变化和光线，以很小的阶梯式的方式来实现;这样一来就可以将这些事实罗列如下，它们更一般的表述就是我们的定律：
1）低等有机体的繁衍是通过分裂。而高等动物有机体的繁衍则是通过逐渐降低的复制能力。
2）植物的每个部分，随着在其中的生命过程发展得越高和越强，它们对温度的变化就越灵敏。而在高等动物有机体中，尤其在那些最重要的完善的部分，其中的温度几乎是恒定的。
3）起着自主思维作用的神经系统的部分，会尽可能地不受所有这么多东西的影响。
首先所引用的事实显然是由于，各部分相对位置越是不由外部的动因所决定，就越是由物质内部的过程来决定。但是这种不依赖外部动因的情形在地壳内部远比在地壳外部的有机组织中所能达到的要强得多。
把下面的事实联系起来看，在4。和5。中所组织的事实看起来似乎与我们的假设相抵触;实际上，如果我们给予为生命过程的可能性所必须的条件以绝对的满足，而不只是在经验范围内的相对满足，它们就是这样。但是对于第一点有以下理由：
1、除了要为死亡保留地面，我们一定要保留整个大自然，因为所有其他天体被高温和高压所统治，在这种环境下有机物无法生存。
2、假定在坚固的地壳上由无机物生出有机物是不明智的。为了解释在地壳上低级有机物的生成，我们一定要要有一个有机化原理（rganisierende Princi），因而也就是假设有一个受到条件约束的思维过程，在这样的一个过程中不可能生成有机结合。
因此我们一定要假设，这些约束条件只是对在地球表面上的状况下的生命过程起作用，而且我们只可以做到用它来说明，我们也可以由此来判断在其他状况下生命过程的可能性。
为什么生命过程的普遍载体只有四种有机要素呢?这个理由只有从这四个要素不同于所有其余有机质的性质中去找。
1、这四个要素的这种性质之一就在于，它们以及它们的化合物是所有材质（stoffe）中最重的，其中还有一部分至今都不能使之凝固。
2、它们另一个共同的性质是，它们的化合物的巨大多样性和易于分解性。但是这一性质可以同样好地用来作为生命过程的基础。
至于难于凝固的第一个性质，有利于这四个要素服务于生命过程，还可以相当好地直接由归结在2.和3.之下的生命过程的实际条件来说明，但是当人们还想把在气体凝结为液体和固体时的现象归结到其原因时……
Zend- Avesta 实质上是一个有生命力的、有创造力的字眼①，在我们的知识以及在我们的信仰中由我们的精神所创造的新的生命;因为正如有许多思想，它们一度在人类的发展过程中甚至起过十分有力的作用，只是通过传说延续给我们，现在突然又以更纯粹的形式从似死的状态中重新获得新的生命，揭开了自然中的新生命。
因为就好像自然的生命在我们眼前无限地扩展，迄今只有在地球表面才感受到，似乎显得比迄今为止都要远远更突出那些被我们看成是知觉和下意识发挥作用的地方，现在似乎是最高精神活动的工厂。
那些在伟大诗人的眼中的研究者的精神，已经以惊人的形式得到了令人振奋的描述。
正如 Fechner在他的 Nanna中试图赋予植物以灵魂一样，他在其Zend-Avesta中以对星体赋予灵魂的学说作为他的研究的出发点。他为此所采用的方法，不是通过归纳抽象出普遍的规律，然后再将它们应用到对自然的解释中去并加以检验，而是类比。他把大地与我们自身的机体相比较，而后者我们大家都知道，是被赋予了灵魂的。
他在这时不仅是进行单方面相似性的类比，而且也同时给予非相似性以完全相同的权利，并由此得到这样的结果，所有的相似性由此表明、大地是一个有灵魂的生灵，而所有非相似性则由此表明，它是一个像我们一样的被赋予了高得多的灵魂的生灵。
这一表述令人信服的力量在于其阐述的全面和细致。大地生命在我们面前展开的图卷给人总的印象必定会赋予观念以明晰性并注入个别结论所缺少的严格性。这一明晰性有赖于图像的直观性，有赖于尽可能详尽的讲述。
如果我在这里把 Fechner在其工作中所经历的道路扼要地讲出来，那么我认为这样做，对他的观点是有害的。由此在下面对 Fechner观点的讲述中我将采取这样的形式，只集中注意到它们最为实质的部分，并且采取前面那种方法，即通过归纳抽象出普遍规律的方法，并以对自然的解释作为证实它们的基础。
我们首先要问:我们从哪里得出，事物已经被赋予灵魂（在其中发生了持久的一致的思维过程）的结论?我们自身被赋予灵魂是我们直接肯定的，对其他（人和动物）我们则是从个体有目的的运动来做出这个结论的。
在所有我们想将那些秩序井然的目标性归结到其原因之处，我们总是想在思维过程中去找这种原因；我们没别的解释。但是这个思维本身，我至少只能保留给有质体内部的过程。至于不能由物质的空间运动来解释思维这一点，可以在将内部的知觉做不偏不倚的剖析中让每一个人都明白;可是还是可以在这里给出这种解释的一种抽象的可能性。
至于在世事上采取符合目标性这一点，无人能解释（Haugen）。因而就要问我们要把这个作为此目标性的原因的思维过程置于何处?
这里只谈所受到约束的（发生于有限的时间和空间内的）目的;不受约束的目的要用永恒的（不是在某一思维过程中产生的）意志来解释。唯一我们可以感觉到其原因的目的性，就是我们自身行为的目的性。它源自我们目的的意志和对方法的深思。
如果我们现在找到一个从有质物质（ponderable Materie）生成的物体（Korper），在其中一个关于目标和效果的系统彻底结束了，那么为了解释这个目的性我们就可以假设在其中有一个持续的统一的思维过程;而如果：
2）不存在要到一个包含这个物体在内的更大的整体中去寻求原因的理由，那么这个假设就很有可能。
如果我们转来在人类、动物和植物所采取的目的性上来讨论这一点，那么一部分这种目的性要用这个物体内部的一种思维过程来解释，可是另一部分，有机体的目的性，要用一个更大的整体的一种思维过程来解释。
1、有机组织的目的性并不因其个别有机体的结束而结束。人的有机体的组织的根源要到把有机的大自然也算进去的整个地球表面的性质中去找。
2、有机运动无数次地重复，部分在各个不同的个体中一起进行，部分在单个个体中，或者单个种属中依次进行对于目的性来说，这在它们中是已经存在的，因而也不必每一次都要假设有一个特殊的原因。而可以认为是由于那个共同的原因。
3、有机组织（在人与动物的情况下）包含着活的个体部分，（在植物和胚胎的情况下）包含着单个种属没有发育的活的部分。因此其目的性的原因就不能到同时进展的思维过程中去找。
抽去了这种（有机性的）目的性之后，在人和动物的情况下还留有大家所承认的主要的东西，而在植物的情况下，按照 Fechner的观点，还留下一个以变动着的目的与结果之间的关系相互联系着的封闭系统;而这个目的性要用在其中的一个统一的思维过程来说明。
但是依据这一些相同的原理，在有机体中所采取的目的性就要从一个统一的思维过程来寻求其原因，其理由如下：
a）在地球上有机生命的目的与结果之间的关系不会分解为单个的系统，而是全都相互联系在一起因此它们不能用地球每个部分的特定思维过程来解释；
b）就我们的经验所达到的范围来说，没理由要到一个更大的整体中去寻找目的性的原因。所有的有机体都仅仅是为了地球上的生命而确定的。因此地壳的状态就包含了它的组织的全部（外部的）根基；
c）它们是独一无二的。不管怎么说，经验告诉我们，我们一定要认为，它们不会在另一个天体上重复；
d）它们不会在地球生命的整个持续期保持。在这期间很可能有新的完整的有机体出现因此我们一定要同时在一个更高层进行的思维过程中去寻找其原因。
从严正自然科学的观点来看，用原因来解释自然就是用有灵魂的假设来解释存在和有机世界的历史发展“。
当一个低级灵魂的肢体死去时，” Fechner这样说，“高级灵魂就把它们从其视觉中的生命（Anschauungsleben）收入它们的记忆中的生命（Erinnerungsleben）之中”，因此死去生物的灵魂也将成为构成灵魂生命（Seelenleben）的元素。
不同的思维过程看来就是靠它们的时间节律来区分。如果要赋予植物以灵魂，那么在时间上就必须以小时和天计，而对我们来说就不过是以秒来计的事;而对地球的灵魂来说，至少是从它们对外的活动来说，就大概至少要囊括好几千年的时间区间。就人类历史记忆所达到的范围来说，无机地壳的所有运动还是可以很好地用力学规律来解释。
Newton用来建立无限小计算的基础时的方法，而且是从世纪开始以来被最好的数学家认为是唯一可提供可靠结果的方法，就是求极限的方法，这样的解决方法就在于我们从量的一个值到另一个值，从一个地点到另一个地点，或者甚至从一个概念的确定方式①到另一个概念的确定方式，不是经一个连续的过程而是首先经历一个被看成是由有限个中间阶段组成的过程，然后这些中间阶段的数目这样来增长，使得相继紧连的两个中间阶段之间的距离全都无限地减小。
反命题的概念体系也就是通过负面的谓词所确定的概念，但是无法从正面去想象。
正是由于无法准确和完全地想象这个概念体系，通过我们的深思也做不到对它们进行直接的研究和改造（Bearbeitung）。但是它们还可以适合于看成可想象事物的极限，也就是说，我们大家可以设想在可想象事物内部改造一个概念体系，仅仅通过量的比例的改变就可以过渡为给定的概念体系。如果忽略量的比例，那么概念体系在极限过度下就不会改变。但是在极限情形本身中它的可想象性体系的相互关系的概念有一些就会丢失，甚至一些促成的与其他概念之间的关系也会失去
①确定方式Bestimmungsweise，，见“论奠定几何学基础的假设”一文I，中的脚注--中译者注
黎曼几何学是爱因斯坦广义相对论的基石，彻底否定了康德关于物质世界必然是欧几里得式的断言。他还提出了数学领域最负盛名的黎曼猜想，数学领域最后一个“百事通”、哥根廷数学学派的希尔伯特弥留之际曾说，假如五百年以后自己能复活，最想知道的是：“黎曼猜想是不是已经被证明？”
我身体的大部分会逃脱死亡，我将会永生，仍然活在后世的赞美声中。 ——（古罗马）贺拉斯
二〇一九年春天，包括上海天文台在内的全球六家天文观察机构同时发表相关声明，公布了他们合作拍摄的首张黑洞照片。此前两年，引力波被直接探测到和阿蒂亚爵士宣布证明黎曼猜想这两项重大科学新闻，同样引发了全球公众的高度关注，丝毫不亚于一年一度的奥斯卡颁奖礼。物理学家爱因斯坦再次成为人类膜拜的偶像，与黑洞一样，引力波的存在也是他的广义相对论所预言的。然而，有一个关键性人物被忽视了，那便是十九世纪的天才数学家伯恩哈德·黎曼，他建立的黎曼几何学是广义相对论的基石，同时他还提出了迄今为止数学领域最负盛名的黎曼猜想。
二〇一〇年秋天，我应德国哥廷根大学一位数学同行的邀请，来到慕名已久的数学圣地做客一个月。一个星期六的早上，我独自开始了火车之旅。那天我上午游览不来梅，下午游览汉堡，它们是柏林以外仅有的两座直辖市，也是德国吞吐量最大的两个港口，分别位于威悉河和易北河下游。在汉堡用过晚餐之后，我踏上了归途。与来时路线相反，我选择了东线，经过吕讷堡、于尔岑，到汉诺威后再换车返回哥廷根。
巧合的是，这几座城镇恰好都与本文主人公黎曼有着密切的关联。黎曼在汉诺威和吕讷堡念的中学，而于尔岑是离他出生地和度过童年时光的两个小村（他的父亲是村里的牧师）最近的火车站。即便黎曼时代不通火车，这里也是他去往哥廷根求学的必经之地。火车在日落时分抵达，靠站后我下车去拍摄了站牌，在那短促的几分钟里，我满脑子都是黎曼。
然而，关于黎曼的生平，至今我们所知的仍然不多，他本人也没有留下内心活动的记录，只有部分往来的书信。黎曼的同代人里，只有他的师弟戴德金，在黎曼去世十年以后编撰他的文集时为他写下一篇十七页的小传。戴德金是黎曼与他共同的导师高斯的同乡，出生在不伦瑞克，他是高斯的关门弟子。
依照戴德金的描述，黎曼是个极为羞怯的人，每当出现在人群中，他都会觉得不自在。这与他从小所处的宗教环境不无关系，他的家族成员都是虔诚的路德教徒，他们“每天在上帝面前自我反省”。家族成员之间的关系则非常亲密，每次离开家，黎曼便会犯思乡病，如同法国前辈数学家、思想家帕斯卡，或者后来客居英伦的印度数学天才拉马努金。此外，他和拉马努金还有一个共同的老朋友——肺结核。
除了思乡病和肺结核，黎曼还是一位疑病症患者，这个词是如今流行的抑郁症的同义语。只不过由于黎曼遗孀的请求，戴德金才避开使用它。黎曼的妻子是其姐姐的朋友，他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得长久的人。在他们备受崇敬和爱戴的父亲去世以后，黎曼经常沉浸在痛苦的回忆之中，幸好他有一座安逸的避风港，那就是他的数学世界。特别地，黎曼对素数及其分布有着一种深深的、迷人的依恋。
那时候德意志已开始实行教育家冯·洪堡倡导的教育改革，大学的第一个任务是教学，尤其是培养优秀的中学教师，而把研究工作交给科学院。于是乎，伟大的数学家高斯也被要求讲授“线性代数”，唯有冯·洪堡本人创办的柏林大学例外，那里的数学研究处于领头羊，尽管没有高斯那样史诗般的英雄人物。幸好还有条规则，学生学习期间可以到其他学校修学。为了汲取更多的营养，黎曼转学到了柏林。
在柏林大学的两年期间，黎曼如饥似渴地学习新的、充满了许多活力的数学，那会儿年富力强的数学家雅可比、狄里克莱、施坦纳和艾森斯坦等人都在柏大。黎曼向他们学了很多东西——从雅可比那里学到高等代数和高等力学，从狄里克莱那里学到数论和分析，从施坦纳那里学到了现代几何，而从仅仅比他年长三岁的艾森斯坦那里则学到了椭圆函数和自信。他有信心超越前辈同行。
一八四九年，黎曼从柏林回到哥廷根。两年以后，他以一篇题为《单复变函数一般理论的基础》的论文获得博士学位，那年他二十五岁。在哥廷根大学求学的最后一年半，他以极大的兴趣去听哲学讲座和韦伯的实验物理学课程，把他的纯粹数学暂时放到一边。这使得他后来的数学工作常常处于更深的哲学背景下，同时毕生保持了对物理学的浓厚兴趣。虽说黎曼外表文弱、羞怯，内心却勇敢而强大，有一颗像太阳那样辉耀的心，加上卓越的才华，使他具备一种惊人的冲击力和能量。
复变函数论是数学的重要分支，黎曼与法国人柯西、德国同胞维尔斯特拉斯被公认为这一分支的三大奠基人，他们的出发点不一样，柯西是从分析出发，维尔斯特拉斯是从函数论出发，而黎曼则是从几何出发。黎曼给单值解析函数下了严格的定义，还对多值函数定义了黎曼曲面。此外，他还率先研究了曲面拓扑，并解决了曲面上函数存在性和唯一性的问题，这对后世有着重要影响。这篇论文是十九世纪数学的经典，但在当时除了被高斯关注以外，并未引起太大反响。直到三年以后，黎曼才被哥廷根大学聘为无薪讲师。
一八五四年，黎曼为无薪讲师职位做了就职演讲。黎曼向系教授会提交了三个题目，其中两个是关于数学物理的，他原本希望能选中这两个题目中的一个，因为他已经有所准备。但是最后时刻他又说出了第三个题目，是关于几何基础的。没想到高斯对这样的一个问题更感兴趣，他本人对此已考虑多年，并与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍耶各自建立了一种非欧几何学，即罗氏几何。黎曼并未有完全的把握，也只好硬着头皮上台了。
黎曼演讲的题目是《论作为几何学基础的假设》，从中他建立起黎曼几何学的基础，并给出了黎曼度量的定义。他把高斯的内蕴几何从欧几里得空间推广到任意n维空间，并称其为流形，再把流形上的点用n元有序数组表示。黎曼还引进子流形和曲率的概念，让他尤其关注的是所谓“常曲率空间”，即每一点上曲率都相等的流形。这种常曲率有三种可能性：曲率为正常数，曲率为负常数，曲率为零。
黎曼指出，第二种和第三种分别对应于罗氏几何和欧氏几何，而第一种情形对应的则是他创造的黎曼几何。在欧氏几何里，过已知直线外一点恰好能做一条直线与该直线平行；在罗氏几何里，过已知直线外一点可做不止一条直线与该直线平行；而在黎曼几何里，过已知直线以外一点不能做任何直线与该直线平行。能这么说，黎曼是第一个理解非欧几何学全部意义的数学家。
黎曼的演讲所含思想如此丰富和先进，人们用诸如“划时代的”“不朽的”等词形容它。六十年以后，爱因斯坦广义相对论所需要的数学工具，即三维空间和时间能在数学上处理为四维空间，已包含其中。作为牛顿之后最重要的科学发现，广义相对论首次把引力场解释成时空弯曲，并推导出大质量恒星最终归结为一个黑洞。而在黎曼几何里，球面上两点的最短距离正是弯曲圆弧的一部分。
黎曼担任无薪讲师的第二年，高斯去世了，黎曼在柏林大学时的老师狄里克莱继承了高斯的职位，没料到四年以后，狄里克莱也去世了。在此期间，黎曼的父亲、弟弟和两个妹妹相继去世，他永远失去了故乡的避难所。一八五九年七月三十日，黎曼继承了高斯的职位，晋升为正教授。他和他仅存的两个姐妹搬进了天文台，那是高斯生前居住过的地方。之后，荣誉接踵而来，在黎曼晋升教授仅仅十二天以后，三十二岁的他被任命为柏林科学院通讯院士。
在授予柏林科学院通讯院士的仪式上，黎曼又做了一次题为《论小于一个给定值的素数个数》的重要报告。他先是向高斯和狄里克莱两位前辈表达敬意和感谢，接着引入十八世纪数学家欧拉发现的关于素数的无穷乘积的级数展开式，那被认为是解析数论的金钥匙。黎曼把上述级数展开式命名为函数ζ（s），它被后人称为黎曼ζ函数，即从1到无穷正整数n的s次方倒数之和。容易推出，这个函数在负实数轴的偶数点均取零值，这被称为平凡零点。
这是黎曼在数论领域发表的唯一一篇论文，也是迄今为止这个被称为“数学皇冠”领域里最重要的一篇文献。换句话说，柏林（而非哥廷根）非常偶然地成为如今赫赫有名的黎曼猜想的诞生地。这个猜想是说：黎曼ζ（s）函数的所有非平凡零点都在实部为1/2那条垂线上。黎曼之所以用那个题目，是因为高斯曾提出“小于某个给定值的素数个数”这一非常热门的问题。假设不超过x的素数个数为π（x），高斯猜测π（x）~x/lnx。这便是著名的素数定理。
十九世纪的最后十年，素数定理忽然有了转机。一八九〇年，法国科学院设立了大奖，授予“确定小于一个给定值的素数个数”的最佳论文。结果，年轻的法国人阿达玛拿走了大奖，但他并没有证明素数定理。三年以后，德国数学家冯·曼戈尔特得出一个结论：如果某个比黎曼假设弱得多的猜想获得证明，那就可以证明素数定理。这个弱黎曼猜想是说：黎曼ζ函数的非平凡零点实部小于1。
正是沿着这个思路，翌年阿达玛杀了一个回马枪，证明了上述弱黎曼猜想，从而证明了素数定理。与他分享这个成就的还有比利时人普桑，幸运的是，他们之间并没有像牛顿与莱布尼茨那样出现“优先权之争”，这可能是“论证”与“发明”的差异。半个多世纪以后，挪威人赛尔贝格和匈牙利人爱多士各自用初等方法再次证明了素数定理，仍收获巨大的荣誉，分别得到菲尔兹奖和沃尔夫奖。
素数定理是十九世纪的大白鲸，也就是说，是最吸引人、最具挑战性的数学难题，就如同二十世纪的费马大定理，它们都在世纪末获得证明。有个说法，谁证明素数定理，谁就将获得永生。事实上，普桑是在九十六岁差五个月时去世，而阿达玛走时九十八岁差两个月。阿达玛的人生经历过磨难，他的三个儿子均死于两次世界大战，最钟爱的孙子死于登山事故。一九三六年，阿达玛曾来清华大学访学，其间帮助华罗庚与苏联数学家维诺格拉多夫建立了联系。
无论如何，素数定理的证明是一个转折点。它是由弱黎曼猜想推导出来的。能这么说，假如没有黎曼出人意料的工作，素数定理是否能在今天获得证明仍不好说。与此同时，因为素数定理的证明，黎曼猜想一下子被推到了前台，每个数学家都要面对或被问及。以至于在二〇一八年秋天，年迈的菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者阿蒂亚爵士事先昭告天下，并在海德堡当众宣布他证明了黎曼猜想。可是，他的证明并不成立。
让时间回到一九〇〇年八月八日，哥廷根数学学派掌门人希尔伯特在巴黎大学登台演讲。那是第二届国际数学家大会的一个特邀报告，希尔伯特的演讲题目是《数学问题》—开头那句话，数学人都十分熟悉，就如同文学爱好者熟悉加西亚·马尔克斯《百年孤独》的开篇。“我们当中有谁不想揭开隐藏着未来的帷幕，看一看我们这门学科接下来的进展和在未来世纪中怎么样发展的奥秘？”
希尔伯特列举出了二十三个问题，它们为二十世纪数学的发展指明了方向。在他的问题中，被公认为最重要、最难解决的是第八个问题，其中提到了三个与素数有关的难题——哥德巴赫猜想、孪生素数猜想和黎曼猜想。在那以后，黎曼猜想也引起了海峡对岸英国数学家的关注。在此以前，由于微积分学的“优先权之争”，使得海峡两岸数学交流中断了一个多世纪，英国数学大大地落后了。直到哈代的出现，才又有了剑桥学派，英国数学再度崛起。
晚年的哈代出版了一本奇特的散文集《一位数学家的辩白》。将近七十年之后，我造访剑桥时仍在书店的显著位置见到此书。正是哈代发现了印度数学天才拉马努金，他也是华罗庚访问剑桥时的指导老师。一九一四年，即第一次世界大战爆发之年，哈代率先证明了：黎曼ζ函数在实部为1/2这条直线上存在无穷多个零点。
与此同时，也有人认定黎曼猜想不成立，其中就有“电子计算机之父”图灵，他是哈代的学生。从二十六岁开始，图灵着迷于寻找一个实部非1/2的非平凡零点。起初他试图设计机械计算装置来生成反例，后来因“二战”中断了。战后图灵借助计算机算出了一千零五十四个零点，可惜没有一个是他希望的反例。不然的话，即便因性取向遭受歧视和侮辱，相信他也不会去咬那只涂有氰化物的苹果。如今，人们已算出数千亿个非平凡零点，它们依旧在实部1/2那条线上。
虽说牛顿既是数学家又是物理学家，但这两个身份并没有真正的区别，对黎曼来说，这种区别也不明显。黎曼的想象力特别大程度上类似于物理学家，在他生前发表的所有十篇论文中，有四篇属于物理学的范畴。这十篇论文相互独立，各自引领一个方向或学科。如同《英国百科全书》“黎曼”条目所写的：“他的学术成果大部分是杰作——充满了独创性的方法、意义深刻的思想和广泛深远的想象。”
黎曼毕生保持着对物理学的浓厚兴趣，他热衷于研究热学、声学、电学和光学。黎曼的论文《论有限振幅平面声波的传播》讨论了压缩波和膨胀波：压缩波压缩得越厉害，波速更快；膨胀波膨胀得越厉害，波速减缓。一八六〇年，黎曼发表了《热传导的一个问题》，从中发展了二次微分形式，它也是相对论的基础。同年，黎曼访问了巴黎，受到法国数学同行的热情接待，他们给予黎曼极大的赞赏。
一八六二年夏天，三十六岁的黎曼结婚了，夫人叫爱丽丝。婚后不到一个月，他患上了胸膜炎，继而导致肺结核。从此黎曼与意大利结了缘，他生命最后的四年绝大多数都是在亚平宁度过的，那里有着温暖的气候。黎曼很喜欢意大利的艺术，他的独女伊达在比萨出生。有两次黎曼认为自身康复了，但穿越阿尔卑斯山的旅途劳顿和严寒天气又使得病情复发，幸好哥廷根大学方面慷慨地一再延长他的休假期。
英裔美国作家德比希尔毕业于伦敦大学数学系，他的《素数之恋》曾获首届欧拉图书奖（二〇〇七年，本文从此书中文版选取了一些素材）。他把数学家分成两类，即逻辑型的和直觉型的，并举维尔斯特拉斯和黎曼为例。他认为维尔斯特拉斯是攀岩者，每一步都建立在坚实的论证基础上，而黎曼则是空中飞人表演者，有很强的直观想象力和跳跃性的思维。这让我想起新近因为新冠肺病去世的美国物理学家戴森，他写的《飞鸟与青蛙》也把天才人物做了相似的分类。
在生命的最后一年，黎曼接连获得荣誉。巴黎科学院选举他为通讯院士，英国皇家学会选举他为外籍会员。与此同时，他的病由于结合了黄疸症而变得越发严重。一八六六年七月二十日，黎曼在意大利北部的塞拉斯加与世长辞。黎曼走时十分宁静，由他父亲传递给他的那份虔诚始终伴随着他。而黎曼这一个名字，无论过去、现在还是将来，都将永远伴随着每一位数学工作者。黎曼安葬在阿尔卑斯山南麓的马焦雷湖畔，墓碑上刻写着圣徒保罗的一句话：
黎曼下葬后，爱丽丝带着伊达（英国诗人拜伦的独女也叫伊达，她是第一个计算机程序员）返回了哥廷根。伊达成年以后嫁给一位数学博士，黎曼的这位从未谋面的女婿后来出任不来梅一所航海学校的校长，把岳母和岳父唯一在世的姐姐（也叫伊达）接了过去。他们组建了一个大家庭，儿孙的数目难以统计，黎曼的后裔如今已融入普通百姓之中。
2011年，国际数学协会正式公开宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。
国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。
2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”。决议认为，“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……π约等于3。14，因此3月14日是纪念圆周率日最合适的日子。”
图灵在数学领域有着多年的积累，出版了众多广为流传的经典著作，如克雷斯齐格的《泛函分析导论及应用》、陶哲轩的《陶哲轩实分析》、哈尔莫斯的《测度论》、哈代的《纯数学教程》，更有畅销读本《普林斯顿微积分读本》等，今天我们整理一批大师之作，一起感受顶级数学家的魅力。
作者是德裔加拿大籍应用数学家，应用数学领域的先驱，主要研究课题是非波复制线性系统。
本书是学习泛函分析的一部优秀入门书，被欧美众多大学广泛用作数学系、物理系本科生和研究生的教材．泛函分析在数学及各应用科学中的作用愈发重要，本书的目的是使读者熟悉泛函分析的基本概念、原理、方法和应用。
作者是美国玛卡莱斯特学院数学教授，数学教学委员会主任，曾担任美国数学协会（MAA）会长。
从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。
旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！
200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。被认为是“小说一般流畅的数学教材！”
译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。
本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。
本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路，十分便于读者理解，充分揭示了复分析的数学美。
公认的阐述线性代数的经典佳作，被斯坦福大学等全球40多个国家、300余所高校采纳为教材。抛弃晦涩难懂的行列式，从向量空间和线性映射出发描述线
华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。
全书从分析的源头——数系的结构和集合论开始，然后引向分析基础，再进入幂级数、多元微分学和傅里叶分析，最后介绍勒贝格积分，几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景，完美结合了严格性和直观性。
戈弗雷·哈代，英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着非常大的贡献和深远影响。
数论领域的一部传世名著，出版以来一直备受数学界推崇，被牛津大学、麻省理工学院、加州大学伯克利分校等知名大学指定为教材或参考书，也是斯坦福大学每个数学与计算机专业学生应读的一本书。
日本数学的不朽名著，哺育小平邦彦、伊藤清等一代数学家的“数学圣经”，日本数学家、“日本现代数学之父”高木贞治创作的分析学入门名著。
衔接古典与现代的集大成之作，它被誉为日本现代数学发展的“不动之根基”，也成为日本所有微积分教材、专著的参考原点。
威廉·费勒，克罗地亚裔美国数学家，20世纪最伟大的概率学家之一。师从著名数学家希尔伯特和柯朗，年仅20岁就获得哥廷根大学的博士学位。
本书是经典概率论教材，原版已重印50多次，至今畅销不衰。内容涵盖从入门到高级的各个层面，并配有丰富的例子和大量习题，涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。
目前国际上关于数值线性代数方面最权威、最全面的一本专著，系统介绍了矩阵计算的基本理论和方法。
美国科学院院士、美国工程院院士吉恩·戈卢布（Gene H。 Golub）等人的经典巨著，是矩阵计算领域的标准性参考文献。
作者是小波分析的创始人之一。本书是数学界公认的经典名著，包含了20世纪80年代以来世界上有关小波分析的最先进成果，全面论述了小波分析的主要原理和方法，并给出了大量实践例题，描述了小波的许多应用。
本书内容丰富，除了介绍概率论的基本知识点外，还介绍了矩母函数、最小二乘估计、泊松过程、马尔可夫过程和贝叶斯统计等内容。书中示例丰富、图文并茂，针对每节主题设计了相应的习题，还提供了部分难题的解答，便于读者自学。
本书多年来在美国麻省理工学院、斯坦福大学、加州大学等名校被用作概率课程教材，经过课堂检验和众多师生的反馈得以逐渐完备，是一本在表述简洁和推理严密之间取得优美平衡的经典作品。
长销57年的线性代数入门名著，影响日本科技与历史轨迹的数学经典，日本数学会出版奖获奖作品加印66次，东京大学、京都大学、东京工业大学、东北大学等日本名校，将本书选为教科书或参考书。
本书为日本东京大学数学教学成果的总结性著作，由时任东京大学理学院院长弥永昌吉教授策划，教导学生的经验丰富的斋藤正彦教授执笔创作，是日本久负盛名的线
沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父日本数学大家伊藤清现代概率论的名著。
书中以最小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。
风靡美国普林斯顿大学的数学课程读本，教你怎样在数学考试中获得高分，用大量例子和代码全面探讨数学问题提供课程视频和讲义。被誉为“普林斯顿读本”三剑客。
